1. Problema de Números: la suma de los cuadrados de dos enteros pares consecutivos es 1252: encuentre los enteros.


interpretación:


debemos encontrar dos números enteros pares consecutivos que elevados al cuadrado nos de 1252; para ello debemos plantear una ecuación que nos acoja los términos, entonces el primer termino será X² y el segundo (X+2)² y el tercero que es el resultado es 1252.


entonces:       X²+(X+2)²=0     primero debemos resolver el
                                             binomio cuadrado. así:
X²+ X²+4X+4=0
                                             juntamos términos, 1252 pasa a  
                                             restar e igualamos a 0
2X²+4X+4-1252=0
2X²+4X-1248=0

en este punto de la ecuación es posible terminarla de resolver por medio de la formula resolvente o formula general:

ahora, debemos asignarle a nuestra ecuación las letras a, b y c de la formula general, así: 

2X²+4X-1248=0

      a=2               b=4           c=1248                          

Entonces reemplazamos en la formula: 

            

X= -4+-√ 4²-4(2)(1248)

     ----------------------------      elevamos 4² luego multiplicamos      

                 2(2)                   

                                          4 por 2 por 1248 y los dejamos 

                                          

                                           indicados por el momento

X= -4+-√16 - 9984

      ----------------------          a 16 le restamos 9984

                    4

X= -4+-√9968

    ----------------                  sacamos raíz a 9968

            4

X= -4+-99,83

    ----------------                 

            4

ahora entonces procedemos a sacar X1 y X2, que son los dos números enteros que nos piden en el ejercicio, Así:

         

entonces sacamos los dos resultados posibles que nos brinda la formula uno con - y +, y el otro con - y -.

                               24

X1= -4+99,83        95,83

    ---------------  = ----------   simplificamos (sacamos cuarta) a

          4                   4        ambas fracciones

                               0

entonces:  X1= 24

                               26

X2=-4-99,83          99,87

    --------------   = ---------- simplificamos  (sacamos cuarta) a

          4                   4      ambas fracciones

                               0

Así: X2= 26

Conclusión: los dos números pares consecutivos son 24 y 26.

Comprobación:

(24)²+(24+2)²=1252

576+676=1252

1252=1252

2.dimensiones de un terreno: el largo de una parcela mide 6 pies mas que el ancho, cada diagonal mide 174 pies.¿cuales son las dimensiones de la parcela?

Gráfica:

 datos: 

Largo: 6 + X

Ancho: X
Diagonal: 174

Interpretación: 

Debemos hallar las longitudes horizontales² y las longitudes verticales², teniendo en cuenta que la diagonal de la parcela es 174 y que también la debemos resolver al cuadrado. 

Solución:

X²+(X+6)²=174²                  Resolvemos el binomio


X²+X²+12X+36= 30276      separamos términos, 30256 pasa 
                                        a restar e igualamos a cero

2X²+12X+36-30276=0      a 36 le restamos 30276, los otros
                                       términos por el momento estarán 
                                       indicados.
2X²+12X-30240=0
Ahora podemos resolver nuestra ecuación por medio de la formula resolvente o general.

ahora le asignamos las letras de la formula a nuestra ecuación: 

2X²+12X-30240=0

a=2   b=12   c=30240

Y procedemos a reemplazar en la formula:

X = -12+-√12²-4(2)(30240)         Efectuamos lo que nos 

     --------------------------------        indica la formula

                  2(2)

                                                  

X= -12+-√144-241920

    ---------------------------              A 144 le restamos 1776

               4

X=-12+-√24776
    -------------------                      Efectuamos la raíz 
              4




X=-12+-√492
   -----------------
          4




Procedemos a encontrar los dos resultados que nos 
proporciona la formula X1 y X2, el primero: - y +; el segundo


- y-. así: 
                             120
X1= -12+492          480                                                   
     ------------- = -----------      simplificamos la fraccion
             4                4         
                               0                                      


                                               
X1= 120 pies


Ahora hallamos X2


                                               126                   simplificamos la fracción
X2=-12-491          503
   --------------  = --------               
         4                 4                        
                            0


X2= 126 pies


Conclusión: las dimensiones del terreno son 126 pies de 
largo por 120 pies de ancho.



3. trabajo compartido: Jack, Kay y Lynn entregan folletos de propaganda en un poblado pequeño. si cada uno de los trabaja solo, Jack tarde 4 horas en entregar todos los folletos, y Lynn se tarda 1 hora más que Kay. si trabajan juntos, pueden entregar toda la propaganda en 40%del tiempo que tarda Kay cuando trabaja sola. ¿Cuanto tarda Kay en entregar toda la propaganda ella sola?


Interpretación:  


Primero debemos tener en cuenta que todo se debe calcular en función de lo que pueden hacer en una hora.


Ahora si:


Jack le toma 4 horas entregar los folletos publicitarios. entonces Jack entrega 1  de los folletos en 1 hora.
                                   ----
                                    4


Kay le toma X horas en entregar los folletos publicitarios. entonces Kay entrega 1   de los folletos en 1 hora.
                                 ----
                                  X
Lynn le toma X+1 horas. entonces Lynn entrega   1    en 1 h
                                                                         ----------    
                                                                          (X+1)    


Juntos les toma el 40% del tiempo que se tarda Kay, entonces juntos se demoran 0.4X (sacamos 40% a 40, por eso es 0.49 y x es el tiempo de Kay que aun no lo hallamos)  otra vez en función de 1 hora, así:     
   1
--------  
 0.4X


Procedemos a sintetizar la ecuación: 


  1          1            1              1
-----  +  ------  +----------- = ----------
  4          X        (X+1)          0.4X


Solución: 


               
                               

1. Problema de Mezclas: Una botella contiene 750 mililitros de ponche de frutas con una concentración de jugo de frutas pura al 50%. Jill toma 100 ml del ponche y luego vuelve a llenar la botella con una cantidad igual pero de una marca más barata de ponche, si la concentración de jugo se redujo ahora al 48%, ¿Cuál es la nueva concentración del ponche que Jill añadió?

Interpretación: 


Jill en un principio tenia 750 ml de ponche, pero toma 100 ml lo que indica que ahora solo tendrá 650 ml con la misma concentración, puesto que solo disminuyó el volumen, es decir una concentración del 50%. Cuando se habla de CONCENTRACIÓN se hace alusión a la relación que hay entre el soluto( lo que se disuelve)  y el solvente (lo que disuelve al soluto).




750 ml ------ 50%    le resto 100 ml  = 650 ml----- 50%




Pero Jill vuelve a llenar la botella con otra clase de ponche, es decir vuelve e introduce en la botella 100ml de un nuevo ponche, pero con una concentración diferente, a  la  concentración del nuevo ponche la llamaremos "X".


Ahora bien, vuelve Jill a tener 750 ml, pero con una concentración diferente, ahora es de 48%.  Ya se puede proceder a modelar la ecuación. Tenemos en total dentro de la botella 650 ml de ponche con concentración del 50% y 100 ml con otro ponche de concentración desconocida "X".


Se coge cada volumen, multiplicado por el porcentaje de concentración que representa dentro de la botella. Todo en base al 100%


650ml * 50%  + 100ml  *   X  =        750 ml  *     48%
             -------                  ------                         ---------
              100%                 100%                          100%




Debemos despejar la X, se realizan las operaciones indicadas: 


325+ X = 360
X= 360 - 325 = 35


R// La concentración del ponche que Jill añadió es 35%




2. Volumen de Cereales: El grano está cayendo desde un canalón sobre el suelo y forma un montón en forma de cono, cuyo diámetro es siempre el triple de su altura . ¿Qué altura tiene el montón, aproximada a la centésima más cercana de un pie, cuando contiene 1000 pies cúbicos de grano?






Se sabe que la fórmula para hallar el volumen de un cono es 


V= (p. r² . h) / 3


Nos piden la altura, entonces la despejamos de dicha fórmula:

         3V

h= -----------

       p. r² 

Se sabe que el diámetro es 2 veces el radio, y recordemos que en este problema nos dicen que el diámetro es el triple de la altura (3h). Podemos reemplazar el  r^2.

Al ser el radio la mitad del diámetro, entonces lo debo dividir entre 2. por ende nos queda que el radio = 3h/2


Ahora si procedemos a reemplazar: 

               3V

h= ------------------      (solucionamos lo que podemos)

       p. ( 3h/2) ²

        

          

             3V

h= ----------------        =        

      

       p. ( 9h²/4)

      

             3V

         ----------

              1

h=    ----------

          p. 9h²

        ^-----------

                   4

       

Nos dicen que el volumen del cono de granos es de 1000 pies cúbicos entonces reemplazo: (la notación de pies es ft) 

         12 (1000 ft³)

h= ----------------------

         28.274 ( h²)

Desarrollamos y nos queda que 

         12000 ft³

h= ----------------------

         28.274 ( h²)

Uno a un lado de la ecuación la incognita que es "h" entonces la       ( h²) que está en el denominador de la fracción sube a multiplicar al otro lado.

             12000 ft³

h³=   ------------------                  

             28.274 

(Desarrollo la fracción y debo sacar raíz cúbica a ambos lados)

Después de sacar la raíz el resultado es: 

         h= 7.51 pies

R// El montón de grano en forma de cono tiene una altura de 7.51 pies. 

3. Longitud y área. Calcule la longitud X de la figura. Se proporciona el área de la región sombreada.

a)

   ÁREA : 144 cm ²

Se ve que la figura se compone por dos rectángulos, asi que el área total es la suma de las áreas de cada rectangulo, Por ende se modela una ecuación que me relacione ambas áreas:


  144cm ² = (10 cm) * (X)   +  (6cm) *( x)


   144cm ² = 16 cm X    (Despejo la X) 


   144cm <sup>2
----------------   = X
     16 cm


X = 9 cm</sup>




b)

     ÁREA : 160 pulg²












En esta figura también nos relacionan dos rectángulos.  Se procede como en el anterior.

160pulg ² = (14 pulg) * (X)   +  (13pulg) *( x)

160pulg ² =  27 pulgX

160pulg ²

^{--------------  =  X}

^{27 pulg}

^{X= 5.9 pulg}

1. Problema de Mezclas: Una olla contiene 6 litros de Salmuera a una concentración de 120g/L. ¿Cuánta agua se debe evaporar por ebullición para que la concentración sea 200g/L?

Interpretación:


 Salmuera es una mezcla de agua y sal, entonces si en 6 litros la concentración es de 120g/L es porque por cada litro de agua hay 120 gramos de sal. Ahora nos dan una nueva concentración de 200g de sal por cada litro de agua. Sabemos que la cantidad de litros y la concentración son dos magnitudes inversamente proporcional (al aumentar una, la otra disminuye). Si la nueva concentración que nos dan es mayor a la original, se infiere que la cantidad de agua es menor. Pero ¿cómo hallamos la cantidad de agua que se  evaporó?..... Pues bien, planteemos un sistema de ecuaciones.

Vamos a mirar cuánta cantidad de sal hay, la llamaremos  "z".

Z= (120 g/L) (6L)

Z= 720 g

En total tenemos 720 gramos de sal dentro de la solución. 

Expresemos "Z" pero ahora con la nueva concentración que es de 200g/L

Z= (200g/L) (x)

Sale una nueva incógnita, pero ya sabemos el valor de "Z" ,así que solo reemplazamos.

720 g = (200g/L) (x)

Despejo la incógnita que es "X".

720g/ (200g/L)= X

Cancelo gramos con gramos y hago la operación indicada.

X= 3.6 L

Esta es la nueva cantidad de agua. Pero recordemos que nos pedían la cantidad que se evaporó.

6L - 3.6 L = 2.4 L

R// La cantidad de agua que se evaporó por ebullición fue de 2.4 L. 

2. Dimensiones de un Terreno: Un terreno urbano tiene la forma de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de 7 pies más grande que uno de los catetos. El perímetro  del terreno es de 392 pies. ¿Cuánto mide el otro cateto?

Interpretación:                        

Llamaremos un cateto "y" al  otro "X" y a la hipotenusa "x+7" . Sabemos que el perímetro es 392 pies, por tanto:

392 pies= y+x+(x+7)    (unir términos semejantes)

392 pies= y+2x+7        (dejar a un lado las incógnitas)

392- 7 = y+2x

385 pies = y + 2x                 y= 385 - 2x

Ahora recordemos que para triangulos rectángulos se utiliza el teorema de pitagoras: http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm

Lo aplicamos: Tenemos la hipotenusa y el valor de "y", entonces reemplazamos en la formula: h²= y² + x²

  (7+x) ² = (385-2X) ² + x^{2  ( el primero y el segundo son una suma y resta  de binomios al cuadrado respectivamente), entonces desarrollo el primero por el momento}

49+14x+x²   = (385-2X)² + x^{2   paso la} x^{2  al otro lado de la igualdad} 

49+14x+x²  -x²   = (385-2X)²  (Sumar términos iguales y resolver el otro producto Notable)

49+14x = 148225- 1540x+4x²  

^{igualar a "o" y sumar o restar los términos semejantes} 

^{49+14x-148225+1540x-} 4x² = 0

-148176+ 1554x -4x^{2   (los organizo en forma descendente y multiplico por -1, para cambiar signos)}

4x² – 1554x + 148176  ( ecuación de segundo grado, resolver por la forma más conveniente, vamos a utilizar Fórmula General) http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_general_(matem%C3%A1ticas)

        - (1554) ±Ö( 1554)² – 4 (4) (148176)

X= --------------------------------------------------

                               2(4)

Resolviéndola, nos dan dos resultados para el valor de x.

X1= 220.5               X2= 168 

ENSAYAMOS AMBOS RESULTADOS REEMPLAZANDO EN CUALQUIERA DE LAS PRIMERAS ECUACIONES.

POR EJEMPLO EN ÉSTA: 

y= 385 - 2x
con x1 sería  y= 385- 2(220.5) 
                     
                     y= -56 (no es posible porque una distancia nunca es negativa)
Con x2 sería y = 385 - 2( 168)
                    
                     y= 49 ( si es posible)
Entonces el cateto "y" vale 49, y por Teorema de Pitágoras puedo hallar los demás.  

R// El otro cateto vale 49. 




3. Valor de las monedas: Mary tiene 3 dólares en monedas de 5, 10 y 25 centavos. Si tiene el doble de monedas de 10 centavos que de monedas de 25 y cinco monedas de 5 centavos más que de 10 centavos ¿ cuántas monedas de cada tipo tiene?


Interpretación: 


A cada cantidad de monedas se le debe asignar un nombre o letra con las cuales identificarlas: 
1. Al número de monedas de 5 centavos le llamaremos "X"
2. Al número de monedas de 10 centavos le llamaremos "z"
3. Al número de monedas de 25 centavos le llamaremos "y"


Ahora bien, se sabe que un dólar equivale a 100 centavos, por tanto Mary tiene 300 centavos. Ya con estas aclaraciones se procede a modelar ecuaciones que nos relacionen estas variables.


si la cantidad de monedas de 10 centavos, es el doble de la cantidad de monedas de 25 centavos, entonces lo podemos formular así:  


Z= 2y 


Ahora si la cantidad de monedas de 5 centavos es cinco veces más que la cantidad de monedas de 10 centavos entonces: 


X= Z+5


Estas dos ecuaciones que representan las dos partes del problema las dejamos ahi, mientras que por otro lado modelamos otra:


Si la suma de las monedas dan 3 dólares o 300 centavos se puede manifestar que:

Z+X+Y = 300 centavos

pero podemos reemplazar Z  y X que ya las conocemos (volver a las ecuaciones).

2y + Z+5 + y= 300 centavos

Puedo unir las "y", por lo que me queda:

3y + Z+5 = 300 centavos

Vuelvo y reemplazo la "Z" con el fin de expresar todo en términos de una sola variable, en este caso "y".

3y+2y+ 5 =300 centavos     (sumo las "y" y paso el 5 al otro lado)

5y= 300-5 

5y= 295

Despejo la variable:

y= 59

Ya tengo mi primer resultado, ahora se sabe que hay 59 monedas de 25 centavos. Con las ecuaciones puedo hallar el numero de monedas de las otros valores.

Con las monedas de 10 centavos:

Z= 2y

Z= 118

Con las monedas de 5 centavos: 

X= Z+5

X= 123

R// Mary tiene 59 monedas de 25 centavos, 118 monedas de 10 centavos y 123 monedas de 5 centavos.