1. Problema de Mezclas: Una botella contiene 750 mililitros de ponche de frutas con una concentración de jugo de frutas pura al 50%. Jill toma 100 ml del ponche y luego vuelve a llenar la botella con una cantidad igual pero de una marca más barata de ponche, si la concentración de jugo se redujo ahora al 48%, ¿Cuál es la nueva concentración del ponche que Jill añadió?

Interpretación: 


Jill en un principio tenia 750 ml de ponche, pero toma 100 ml lo que indica que ahora solo tendrá 650 ml con la misma concentración, puesto que solo disminuyó el volumen, es decir una concentración del 50%. Cuando se habla de CONCENTRACIÓN se hace alusión a la relación que hay entre el soluto( lo que se disuelve)  y el solvente (lo que disuelve al soluto).




750 ml ------ 50%    le resto 100 ml  = 650 ml----- 50%




Pero Jill vuelve a llenar la botella con otra clase de ponche, es decir vuelve e introduce en la botella 100ml de un nuevo ponche, pero con una concentración diferente, a  la  concentración del nuevo ponche la llamaremos "X".


Ahora bien, vuelve Jill a tener 750 ml, pero con una concentración diferente, ahora es de 48%.  Ya se puede proceder a modelar la ecuación. Tenemos en total dentro de la botella 650 ml de ponche con concentración del 50% y 100 ml con otro ponche de concentración desconocida "X".


Se coge cada volumen, multiplicado por el porcentaje de concentración que representa dentro de la botella. Todo en base al 100%


650ml * 50%  + 100ml  *   X  =        750 ml  *     48%
             -------                  ------                         ---------
              100%                 100%                          100%




Debemos despejar la X, se realizan las operaciones indicadas: 


325+ X = 360
X= 360 - 325 = 35


R// La concentración del ponche que Jill añadió es 35%




2. Volumen de Cereales: El grano está cayendo desde un canalón sobre el suelo y forma un montón en forma de cono, cuyo diámetro es siempre el triple de su altura . ¿Qué altura tiene el montón, aproximada a la centésima más cercana de un pie, cuando contiene 1000 pies cúbicos de grano?






Se sabe que la fórmula para hallar el volumen de un cono es 


V= (p. r² . h) / 3


Nos piden la altura, entonces la despejamos de dicha fórmula:

         3V

h= -----------

       p. r² 

Se sabe que el diámetro es 2 veces el radio, y recordemos que en este problema nos dicen que el diámetro es el triple de la altura (3h). Podemos reemplazar el  r^2.

Al ser el radio la mitad del diámetro, entonces lo debo dividir entre 2. por ende nos queda que el radio = 3h/2


Ahora si procedemos a reemplazar: 

               3V

h= ------------------      (solucionamos lo que podemos)

       p. ( 3h/2) ²

        

          

             3V

h= ----------------        =        

      

       p. ( 9h²/4)

      

             3V

         ----------

              1

h=    ----------

          p. 9h²

        ^-----------

                   4

       

Nos dicen que el volumen del cono de granos es de 1000 pies cúbicos entonces reemplazo: (la notación de pies es ft) 

         12 (1000 ft³)

h= ----------------------

         28.274 ( h²)

Desarrollamos y nos queda que 

         12000 ft³

h= ----------------------

         28.274 ( h²)

Uno a un lado de la ecuación la incognita que es "h" entonces la       ( h²) que está en el denominador de la fracción sube a multiplicar al otro lado.

             12000 ft³

h³=   ------------------                  

             28.274 

(Desarrollo la fracción y debo sacar raíz cúbica a ambos lados)

Después de sacar la raíz el resultado es: 

         h= 7.51 pies

R// El montón de grano en forma de cono tiene una altura de 7.51 pies. 

3. Longitud y área. Calcule la longitud X de la figura. Se proporciona el área de la región sombreada.

a)

   ÁREA : 144 cm ²

Se ve que la figura se compone por dos rectángulos, asi que el área total es la suma de las áreas de cada rectangulo, Por ende se modela una ecuación que me relacione ambas áreas:


  144cm ² = (10 cm) * (X)   +  (6cm) *( x)


   144cm ² = 16 cm X    (Despejo la X) 


   144cm <sup>2
----------------   = X
     16 cm


X = 9 cm</sup>




b)

     ÁREA : 160 pulg²












En esta figura también nos relacionan dos rectángulos.  Se procede como en el anterior.

160pulg ² = (14 pulg) * (X)   +  (13pulg) *( x)

160pulg ² =  27 pulgX

160pulg ²

^{--------------  =  X}

^{27 pulg}

^{X= 5.9 pulg}