1. Problema de Mezclas: Una olla contiene 6 litros de Salmuera a una concentración de 120g/L. ¿Cuánta agua se debe evaporar por ebullición para que la concentración sea 200g/L?

Interpretación:


 Salmuera es una mezcla de agua y sal, entonces si en 6 litros la concentración es de 120g/L es porque por cada litro de agua hay 120 gramos de sal. Ahora nos dan una nueva concentración de 200g de sal por cada litro de agua. Sabemos que la cantidad de litros y la concentración son dos magnitudes inversamente proporcional (al aumentar una, la otra disminuye). Si la nueva concentración que nos dan es mayor a la original, se infiere que la cantidad de agua es menor. Pero ¿cómo hallamos la cantidad de agua que se  evaporó?..... Pues bien, planteemos un sistema de ecuaciones.

Vamos a mirar cuánta cantidad de sal hay, la llamaremos  "z".

Z= (120 g/L) (6L)

Z= 720 g

En total tenemos 720 gramos de sal dentro de la solución. 

Expresemos "Z" pero ahora con la nueva concentración que es de 200g/L

Z= (200g/L) (x)

Sale una nueva incógnita, pero ya sabemos el valor de "Z" ,así que solo reemplazamos.

720 g = (200g/L) (x)

Despejo la incógnita que es "X".

720g/ (200g/L)= X

Cancelo gramos con gramos y hago la operación indicada.

X= 3.6 L

Esta es la nueva cantidad de agua. Pero recordemos que nos pedían la cantidad que se evaporó.

6L - 3.6 L = 2.4 L

R// La cantidad de agua que se evaporó por ebullición fue de 2.4 L. 

2. Dimensiones de un Terreno: Un terreno urbano tiene la forma de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de 7 pies más grande que uno de los catetos. El perímetro  del terreno es de 392 pies. ¿Cuánto mide el otro cateto?

Interpretación:                        

Llamaremos un cateto "y" al  otro "X" y a la hipotenusa "x+7" . Sabemos que el perímetro es 392 pies, por tanto:

392 pies= y+x+(x+7)    (unir términos semejantes)

392 pies= y+2x+7        (dejar a un lado las incógnitas)

392- 7 = y+2x

385 pies = y + 2x                 y= 385 - 2x

Ahora recordemos que para triangulos rectángulos se utiliza el teorema de pitagoras: http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm

Lo aplicamos: Tenemos la hipotenusa y el valor de "y", entonces reemplazamos en la formula: h²= y² + x²

  (7+x) ² = (385-2X) ² + x^{2  ( el primero y el segundo son una suma y resta  de binomios al cuadrado respectivamente), entonces desarrollo el primero por el momento}

49+14x+x²   = (385-2X)² + x^{2   paso la} x^{2  al otro lado de la igualdad} 

49+14x+x²  -x²   = (385-2X)²  (Sumar términos iguales y resolver el otro producto Notable)

49+14x = 148225- 1540x+4x²  

^{igualar a "o" y sumar o restar los términos semejantes} 

^{49+14x-148225+1540x-} 4x² = 0

-148176+ 1554x -4x^{2   (los organizo en forma descendente y multiplico por -1, para cambiar signos)}

4x² – 1554x + 148176  ( ecuación de segundo grado, resolver por la forma más conveniente, vamos a utilizar Fórmula General) http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_general_(matem%C3%A1ticas)

        - (1554) ±Ö( 1554)² – 4 (4) (148176)

X= --------------------------------------------------

                               2(4)

Resolviéndola, nos dan dos resultados para el valor de x.

X1= 220.5               X2= 168 

ENSAYAMOS AMBOS RESULTADOS REEMPLAZANDO EN CUALQUIERA DE LAS PRIMERAS ECUACIONES.

POR EJEMPLO EN ÉSTA: 

y= 385 - 2x
con x1 sería  y= 385- 2(220.5) 
                     
                     y= -56 (no es posible porque una distancia nunca es negativa)
Con x2 sería y = 385 - 2( 168)
                    
                     y= 49 ( si es posible)
Entonces el cateto "y" vale 49, y por Teorema de Pitágoras puedo hallar los demás.  

R// El otro cateto vale 49. 




3. Valor de las monedas: Mary tiene 3 dólares en monedas de 5, 10 y 25 centavos. Si tiene el doble de monedas de 10 centavos que de monedas de 25 y cinco monedas de 5 centavos más que de 10 centavos ¿ cuántas monedas de cada tipo tiene?


Interpretación: 


A cada cantidad de monedas se le debe asignar un nombre o letra con las cuales identificarlas: 
1. Al número de monedas de 5 centavos le llamaremos "X"
2. Al número de monedas de 10 centavos le llamaremos "z"
3. Al número de monedas de 25 centavos le llamaremos "y"


Ahora bien, se sabe que un dólar equivale a 100 centavos, por tanto Mary tiene 300 centavos. Ya con estas aclaraciones se procede a modelar ecuaciones que nos relacionen estas variables.


si la cantidad de monedas de 10 centavos, es el doble de la cantidad de monedas de 25 centavos, entonces lo podemos formular así:  


Z= 2y 


Ahora si la cantidad de monedas de 5 centavos es cinco veces más que la cantidad de monedas de 10 centavos entonces: 


X= Z+5


Estas dos ecuaciones que representan las dos partes del problema las dejamos ahi, mientras que por otro lado modelamos otra:


Si la suma de las monedas dan 3 dólares o 300 centavos se puede manifestar que:

Z+X+Y = 300 centavos

pero podemos reemplazar Z  y X que ya las conocemos (volver a las ecuaciones).

2y + Z+5 + y= 300 centavos

Puedo unir las "y", por lo que me queda:

3y + Z+5 = 300 centavos

Vuelvo y reemplazo la "Z" con el fin de expresar todo en términos de una sola variable, en este caso "y".

3y+2y+ 5 =300 centavos     (sumo las "y" y paso el 5 al otro lado)

5y= 300-5 

5y= 295

Despejo la variable:

y= 59

Ya tengo mi primer resultado, ahora se sabe que hay 59 monedas de 25 centavos. Con las ecuaciones puedo hallar el numero de monedas de las otros valores.

Con las monedas de 10 centavos:

Z= 2y

Z= 118

Con las monedas de 5 centavos: 

X= Z+5

X= 123

R// Mary tiene 59 monedas de 25 centavos, 118 monedas de 10 centavos y 123 monedas de 5 centavos.